Статистические функции Типовые статистические функции
С помощью системы MathCAD можно проводить наиболее распространенные статистические расчеты с данными, представленными векторами их значений. Существует также ряд статистических функций для скалярного аргумента. С них и начнем.
Помимо уже упомянутой гамма-функции, широко применяемой в статистических расчетах, существуют следующие встроенные статистические функции скалярного аргумента х cnorm(x) — кумулятивная нормальная функция;
erf(x) — функция ошибок (или интеграл вероятности), md(x) — функция генерации случайных чисел, corr(VX,VY) — коэффициент корреляции двух векторов — VX и
VY, cvar(X,Y) — коэффициент ковариации Х и Y
Через функцию erf(x)
легко вычисляется дополнительная функция ошибок.
cerf(x) := 1- erf(x).
Функция rnd(x) при каждом обращении к ней возвращает случайное число с равномерным распределением на отрезке [0, 1] Эта функция широко применяется при статистическом моделировании различных физических процессов Числа являются не строго случайными — в действительности это повторяющиеся последовательности из большого количества чисел, распределение которых близко к равномерному
Статистические функции для векторов
Следующая группа функций относится к вычислению основных статистических параметров одномерного массива данных — вектора:
mean(V) — возвращает среднее значение элементов вектора V;
var(V) — возвращает дисперсию (вариацию) для элементов вектора V;
side(V) — возвращает среднеквадратичную погрешность, т. е квадратный корень из дисперсии, stdev(V) — задает стандартное отклонение элементов вектора V;
hist(int,V) — возвращает вектор частот попадания данных V в заданные интервалы int (служит для построения гистограмм) В функции hist(int,V) вектор int
должен содержать значения границ, число попаданий данных из вектора V должно подсчитываться Если строится гистограмма из N элементов, то вектор int должен содержать N+1 элементов. Функция возвращает вектор из N
элементов, числовые значения которых можно использовать для графического построения гистограмм.
Рис. 11. 21 Работа со случайными числами
На рис. 11.21 представлен документ, в котором организована генерация вектора Х из 1000 случайных чисел, представлено их распределение и вычислены основные статистические параметры массива случайных чисел — вектора X. Этот документ демонстрирует и применение функции hist.
В MathCAD содержится множество различных статистических функций, возможности которых интересны специалистам по обработке статистической информации. Приведем сводку таких функций.
Функции вычисления плотности вероятности распределения
Функции вычисления плотности вероятности распределения представлены
следующим набором:
Ф dbeta(x, s1, s2) —B-распределение (s1, s2>0 — параметры формы, 0<x<1);
dbinom(k, п, р) —
биномиальное распределение (возвращает значение вероятности P(x=k), где п и k целые числа, причем 0<k<n и0<р<1);
Ф dcauchy(x, L, s) —
распределения Коши (L — параметр разложения, s>0 — параметр масштаба);
dchisq(x, d) — Хи-квадрат-распределение (х, d>0, причем d —
число степеней свободы);
Ф dexp(x, r) —
экспоненциальное распределение (г, х>0);
dF(x, d1, d2) —
распределение Фишера (d1, d2>0 — числа степеней свободы, х>0)',
Ф dgamma(x, s) —
гамма-распределение (s>0 — параметр формы, х>0);
Ф dgeom(k, р) —
геометрическое распределение (0<p<^i —
вероятность успеха в отдельном испытании, k —
целое неотрицательное число);
Ф dlnorm(x, р., о") — логнормальное распределение (р. —
натуральный логарифм среднего значения, о">0 — натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения, х>0)',
Ф dlogis(x, /, s) —
логистическое распределение (/ — параметр разложения, s>0 — параметр масштаба);
Ф dnbinom(^, п, р) —
отрицательное биномиальное распределение (и>0 и k>0 — целые числа, 0<p<i);
dnorm(x, р., а) —
нормальное распределение (^ — среднее значение,
++ о>0 — среднеквадратичное отклонение);
dpois(k. Л) — распределение Пуассона (А>0, k — целое неотрицательное число);
dt(a', d) —
распределение Стьюдента (d>0 — число степеней свободы, х — вещественное число);
dunif(-c, а, Ь) —
равномерное распределение (а и b —
граничные точки интервала, причем а<Ь и а<х<Ь);
Ф dweibull(x, s) —
распределение Вейбулла (s>0 — параметр формы).
Функции распределения
Эти функции дают вероятность того, что случайная величина будет иметь значения, меньшие или равные определенной величине. Они представлены ниже (смысл и значения параметров были указаны ранее):
Ф pbeta(x, s1, s2) —
значение в точке х функции стандартного нормального распределения;
pbinom(^, п, р) — значение функции распределения биномиального закона для k
успехов в серии п испытаний;
Ф pcauchy(x, /, s) — значение в точке х функции распределения Коши со шкалой параметров / и s;
pchisq(x, d) — значение в точке х кумулятивного {Хи-квадрат-распре-деления, в котором d -
степень свободы;
Ф рехр(х, r) —
значение в точке х функции экспоненциального распределения;
pf(x, d1, d2) — значение в точке х функции распределения Фишера;
Ф pgamma(x, s) —
значение в точке х функции гамма-распределения;
Ф pgeom(k, р) — значение в точке х функции геометрического распределения;
Ф plnonn(x, m, о) —
значение в точке х функции логнормального распределения;
Ф plogis(;c, /, s) —
значение в точке х функции последовательного распределения;
plnonn(:c, jU, о) — значение в точке х функции нормального распределения;
Ф pnbinom(k, п, р) — значение в точке х функции отрицательного биномиального распределения;
ppois(k, Л) — значение для k функции распределения Пуассона;
pt(x, d) — значение в точке х функции распределения Стьюдента;
punif(x, a, b) — значение в точке х функции равномерного распределения;
Ф pweibull(x, s) — значение в точке х функции распределения Вейбулла.
Квантили распределения
Следующая группа задает обращения (квантили) функций распределения случайных величин. Они позволяют по заданной вероятности вычислить такое значение х, при котором вероятность равна или меньше заданного значения р. Квантили для различных распределений задаются функциями, представленными ниже:
Ф qbeta(p, s1, s2) —
квантили обратного бетта-распределения с параметрами формы s1 и s2;
qbinom(p, n, q) —
количество успешных определений при п- м количестве испытаний при решении уравнения Бернулли при условии, что вероятность этого количества успешных определений есть р (q -
вероятность успеха при однократном испытании (0<<7<1 и 0<=р<1);
Ф qcauchy(p, /, q) — квантили обратного распределения Коши со шкалой параметров 1 и s (s>0 и 0<p<i);
qchisq(p, d) — квантили обратного Хи-квадрат-распределения;
Ф qexp(p, r) — квантили обратного экспоненциального распределения, при котором г>0, определяет частоту (0<=р<1);
qF(p, d1, d2) — квантили обратного распределения Фишера, в котором d1 и d2 — степени свободы);
Ф qgamma(j0, s) —
квантили обратного гамма-распределения;
Ф qgeomQo, q) — квантили обратного геометрического распределения;
Ф qlnorm(p, p., <т) — квантили обратного логнормального распределения;
Ф qlogis(p, /, s) —
квантили обратного последовательного распределения;
Ф qnbinom(p, n, q) —
квантили обратного отрицательного биномиального
распределения с размером п
и вероятностью ошибки q;
qnorm(p, m, о) — квантили обратного нормального распределения со
средним значением р. и стандартным отклонением (г, qpois(p, Я) — квантили обратного распределения Пуассона;
qt(p, d) — квантили обратного распределения Стьюдента
((^определяет степени свободы, d>0 и 0<р<1);
qunif(p, a, b) — квантили обратного равномерного распределения;
Ф qweibull(q, s) —
квантили обратного распределения Вейбулла.
Функции создания векторов m различными законами распределения
Последняя группа статистических функций служит для создания векторов с определенными законами распределения значений их элементов:
Ф rbeta(m, s1, s2) —
бетта-распределение;
rbinom(m, n, p) —
биномиальное распределение;
Ф rcauchy(m, /, s) —
распределение Коши;
rchisq(m, d) —
Хи-квадрат-распределение;
Ф rexp(m, r) —
экспоненциальное распределение, rF(m, d1, d2) —
распределение Фишера;
Ф rgamma(m, s) — гамма-распределение;
Ф rgeom(m, p) —
геометрическое распределение;
Ф rlnorm(m, /л, сг) — логарифмическое нормальное распределение;
Ф rlogis(m, /, s) — последовательное распределение;
Ф mbinom(m, n, p) —
негативное биномиальное распределение;
morm(m, m, о) —
нормальное распределение;
rpois(m, Я) — распределение Пуассона;
rt(m, d) —
распределение Стьюдента;
rumf(m, а, b) —
равномерное распределение;
Ф rweibull(m, s) —
распределение Вейбулла.
Рис. 11. 22 Примеры применения статистических функций
На рис. 11.22 показаны примеры построения графиков для различных статистических функций и задания векторов чисел с различным распределением.
Обилие статистических функций, включенных в систему MathCAD, позволяет ей выполнять достаточно сложные статистические расчеты. Однако все же надо отметить, что существуют специализированные мощные пакеты для выполнения статистических расчетов, например Statistica.
